a. Kaitan Fungsi Kuadrat dan Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 pada prinsipnya adalah fungsi kuadrat Y=ax2 + bx + c yang diperoleh untuik Y = 0. Jika dikaitkan dengan grafik fungsi kuadrat, nilai-nilai X yang memenuhi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 merupakan absis titik potong grafik dengan sumbu X ( garis Y = 0 ). Banyaknya titik potong terhadap sumbu X dapat dilihat dari nilai D ( diskriminan ) ruas kanan fungsi y = ax2 + bx + c.
1) Jika D > 0. Maka grafik fungsi f(x) memotong sumbu X di dua titik berbeda.
2) Jika D = 0, maka grafik fungsi f(x) menyinggung sumbu X
3) Jika D < 0, maka grafik fungsi f(x) tidak memotong sumbu X.
Beberapa kemungkinan mengenai grafik fungsi kuadrat dikaitkan dengan persamaan kuadratnya sebagai berikut.
Y y y
a > 0 a > 0 a > 0 definit D > 0 D = 0 C < 0 positif
x x x y y y definit
negatif
a < 0 x x
D > 0 a < 0 a < 0
X D = 0 D < 0b. Menentukan Sumbu Simetri, Titik Puncak, dan Sifat Definit Fungsi Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna.
Perhatikan f(x) = ax2 + bx +c, ruas kanan akan diubah menjadi bentuk kuadrat sempurana.
f(x) = ax2 + bx + c
= a[x2+
x+(
)2-()2+
]
x+()2-()2+] =a[(x2+x+
)-b2
)]
x+)-b2)] =a(x+)2+(
)
)2+() = a (x-p)2=q
Dengan p = - dan q =
dan q = Dari bentuk f(x) = a ( x-p)2 + q dapat diketahui :
1) Persamaan sumbu simetri : x = p dan koordinat titik puncak P(p,q)
2) Jika a > 0 dan q > 0 , maka f(x) definit positif.
3) Jika a < 0 dan q < 0, maka f(x) definit negatif.
Contoh :
Diketahui fungsi f(x) = 2x2 – 4x + 3.
Tentukan : a. Persamaan sumbu simetri c. Titik potong terhadap sumbu X b.koordinat titik puncak
Penyelesaian :
F(x) = 2x2 – 4x + 3 a. Persamaan sumbu simetri: X = 1
= 2(x2-2x) + 2 b. Titik puncak P(1,1)
=2(x2-2x=1) – 2 + 3 c. Karena a > 0 dan q > 0 makla f(x) definit posit-
=2(x-1)2 +1 if, artinya grafik fungsi kuadrat itu selalu diatas
Sumbu X, sehingga grafik tidak memotong sumbu X.
c. Menyusun Fungsi Kuadrat
1) Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu X di ( X1, o ) serta melalui sebuah titik tertentu
Y = f(x) = a (x-x1) (x-x2)
2) Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di titik ( x1 , 0 ) dan melalui sebuah titik teetentu.
Y = f(x) = a ( x – x1 )2
3) Jika diketahui titik puncak/titik balik P ( p, q ) dan sebuah titik lain, ,aka fungsi kuadratnya dinyatakan :
Y = f(x) = a ( x – p )2 + q
4) Jika diketahui tiga buah titik yang dilalui grafik fungsi kuadrat, maka fungsi kuadratnya dapat diperoleh dengan cara menyubsitusikan ketiga titik tersebut ke persamaan umum fungsi :
Y = f(x) = ax2 + bx + c
Sehingga didapat sistem persamaan linear tiga variabel.
Contoh :
Tentukan persamaan fungsi kuadrat, jika diketahui :
a. Memotong sumbu X di ( -2 , 0 ) dan ( 4 , 0 ) serta melalui titik ( 1 , -9 )
b. Berpuncak di ( 1 , -16 ) serta melalui titik ( 4, -7 )
Penyelesaian :
a. Y = a ( x – x1 ) ( x – x2 )
Y = a ( x + 2 ) ( x – 4 )
Melalui ( 1 , -9 ) => -9 = a (3) (-3)
a = 1
sehingga fungsi kuadrat itu adalah :
f(x) = 1 ( x + 2 ) ( x – 4 ) atau f(x) = x2 – 2x – 8
b. Y = a ( x – p )2 + q
Y = a ( x – 1 )2 -16
Melalui ( 4, -7 ) => -7 = a ( 4-1 )2 – 16
A = 1
Sehingga fungsi kuadrat tersebut adalah :
Y = 1 ( x – 1 )2 – 16 atau y = x2 – 2x -15
